Section: New Results

Algèbre max-plus, déformations et asymptotiques /Max-plus algebra, deformations and asymptotic analysis

Introduction

Comme indiqué dans le § 3.7 , l'algèbre max-plus est la limite d'une déformation de l'algèbre classique, ou plutôt du semi-corps des réels positifs. Elle peut aussi fournir des estimations de ces déformations, puisque

L'utilisation de ces propriétés a déjà conduit dans le passé aux travaux sur les perturbations de valeurs propres  [42] , [41] , [40] , ou sur les grandes déviations [1] , [47] . Dans les travaux qui suivent, nous exploitons ces propriétés dans des contextes reliés ou similaires à ceux de nos travaux précédents.

English version

As detailled in § 3.7 , max-plus algebra is the limit of a deformation of classical algebra, or more precisely of the semi-field of usual real positive numbers. It can also give estimations for these deformations using for instance (12 ). By using these properties, we already obtained some works on singular perturbations of matrix eigenvalues  [42] , [41] , [40] , or on large deviations [1] , [47] . In the works described below, we are exploiting again these properties in contexts that are related or similar to those of our earlier works.

Méthodes tropicales de localisation de valeurs propres de matrices/Tropical methods for the localisation of matrix eigenvalues

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Andrea Marchesini.

Dans un travail avec Meisam Sharify  [50] , on a comparé les modules des valeurs propres d'un polynôme matriciel au moyen des racines tropicales du polynôme obtenu en appliquant une norme donnée aux coefficients. En particulier, on a obtenu des inégalités de type majorisation qui généralisent les bornes obtenues par Polya et Ostrowski dans le cas de polynômes scalaires.

Une partie de la thèse d'Andrea Marchesini, présentée dans  [49] , montre des inégalités de type majorisation entre les modules des valeurs propres d'une matrice et les valeurs propres tropicales de la matrice de ses modules. En particulier, les majorations généralisent l'inégalité de Friedland  [108] concernant le rayon spectral.

Nous avons aussi amélioré et généralisé ces inégalités [27] , en appliquant différents changements de variables diagonaux à la matrice complexe initiale, lesquels sont construits à partir des variables duales du problème d'affectation optimale paramètrique construit à partir d'une matrice tropicale associée à la matrice complexe. En particulier, lorsqu'on les applique à une matrice companion par blocs, ces inégalités sont similaires à celles de  [50] .

English version

In a work with Meisam Sharify  [50] , we compared the moduli of the eigenvalues of a matrix polynomial to the tropical roots of a polynomial obtained by applying a norm to the coefficients of the original matrix polynomial. In particular, we obtained majorization type inequalities which generalize the bounds of Polya and Ostrowski available for scalar polynomials.

One part of the thesis of Andrea Marchesini, presented in  [49] , shows majorization type inequalities between the moduli of the eigenvalues of a complex matrix and the tropical eigenvalues of the matrix obtained by applying the modulus entrywise. In particular, the upper bounds generalize the inequality of Friedland  [108] concerning the spectral radius. The above inequalities were obtained by using the permanental and tropical analogues of the exterior power of a matrix and by showing (combinatorially) properties of their eigenvalues similar to the ones of usual exterior powers.

We also improved and generalized these inequalities, see [27] , by applying to the original complex matrix, different diagonal scalings constructed from the dual variables of the parametric optimal assignment constructed from an associated tropical matrix. In particular, when applied to a block companion matrix, our inequalities are similar to the ones in  [50] .

Méthodes tropicales pour le calcul numérique de valeurs propres de matrices/Tropical methods for the numerical computation of matrix eigenvalues

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Andrea Marchesini.

Un des buts de la thèse d'Andrea Marchesini était d'utiliser les résultats de localisation de valeurs propres tels que ceux obtenus ci-dessus pour améliorer la précision des algorithmes de calcul numérique de valeurs propres de matrices ou de polynômes matriciels, en particulier en construisant des changements d'échelle exploitant les calculs tropicaux, à effectuer préalablement à l'appel d'algorithmes classiques comme QZ. Le “changement d'échelle tropical” introduit par Stéphane Gaubert et Meisam Sharify  [115] dans le cas de polynôme matriciels quadratiques consiste en un changement de variable multiplicatif de la variable scalaire du polynôme matriciel. Dans la deuxième partie de la thèse d'Andrea Marchesini, en collaboration avec Françoise Tisseur de l'Université de Manchester [22] , on considère un changement de variables diagonal du polynôme matriciel construit à partir des variables duales du problème d'affectation optimale paramètrique construit dans l'esprit de  [40] , [34] . On montre l'intérêt de ces changements d'échelle en terme de conditionnement des valeurs propres, et la supériorité du changement de variables diagonal par rapport au changement d'échelle tropical.

English version

One of goals of the PhD thesis of Andrea Marchesini was to use results on the localisation of eigenvalues like the above ones, to improve the accuracy of the numerical compution of the eigenvalues of a complex matrix or matrix polynomial, in particular by applying scaling methods using tropical techniques, which may be used before calling usual algorithms as QZ. The “tropical scaling” introduced by Stéphane Gaubert and Meisam Sharify  [115] in the case of quadratic matrix polynomials consists in a multiplicative scaling of the scalar variable of the matrix polynomial. In the second part of the PhD thesis of Andrea Marchesini, corresponding to a work with Françoise Tisseur from Manchester University [22] , we consider a diagonal scaling of the matrix polynomial constructed from the dual variables of the parametric optimal assignment constructed in the same spirit as in  [40] , [34] . We show the interest of these scaling methods on the eigenvalue conditioning, and the superiority of the diagonal scaling with respect to the tropical scaling.

Tropicalisation du chemin central, et application à la courbure/Tropicalization of the central path and application to the curvature

Participants : Xavier Allamigeon, Pascal Benchimol, Stéphane Gaubert, Michael Joswig [TU Berlin] .

En optimisation, une classe importante d'algorithmes, dits de points intérieurs, consiste à suivre une courbe appelée chemin central jusqu'à atteindre la solution optimale. Le chemin central d'un programme linéaire $\text{LP}(A,b,c)\equiv min\{c·x\mid Ax\le b,x\ge 0\}$ est défini comme l'ensemble des solutions optimales $(x^{\mu },w^{\mu })$ des problèmes à barrière logarithmique:

$\begin{array}{cc}\hfill \text{minimiser}& c·x-\mu (\sum _{j=1}^{n}log{x}_j+\sum _{i=1}^{m}log{w}_i)\hfill \\ \hfill \text{sous}\text{les}\text{contraintes}& Ax+w=b,x>0,w>0\hfill \end{array}$

Les performances d'un algorithme de point intérieur sont intimement liées à la forme du chemin central. En particulier, la courbure mesure de combien un chemin diffère d'une ligne droite. Intuitivement, un chemin central à forte courbure devrait être plus difficile à approximer par des segments de droites, ce qui suggère davantage d'itérations des algorithmes de points intérieurs. La courbure totale du chemin central a été étudiée par Dedieu, Malajovich et Shub  [94] à travers le théorème de Bezout dans le cas multihomogène, et par De Loera, Sturmfels and Vinzant  [93] à l'aide de la théorie des matroïdes. Ces deux travaux fournissent une borne supérieure en $O\left(n\right)$ sur la courbure totale moyenne sur l'ensemble des régions formées par l'arrangement d'hyperplans en dimension $n$. Le cube de Klee-Minty redondant de  [100] et le “serpent” de  [99] sont des instances qui montrent que la courbure totale peut être de l'ordre de $\Omega \left(m\right)$ pour un polytope défini par $m$ inégalités.

Dans un travail de X. Allamigeon, P. Benchimol, S. Gaubert, and M. Joswig, nous avons étudié la tropicalisation du chemin central. Le chemin central tropical est défini comme la limite logarithmique des chemins centraux d'une famille paramétrique de programmes linéaires $\text{LP}\left(A\right(t),b(t),c(t\left)\right)$, où les entrées $A_{ij}\left(t\right)$, $b_i\left(t\right)$ and $c_j\left(t\right)$ sont des fonctions définissables dans une structure o-minimale appelée corps de Hardy.

Une première contribution a été de fournir une caractérisation entièrement géométrique du chemin central tropical. Nous avons montré que le centre analytique est donné par le plus grand élément de l'ensemble des points tropicaux admissibles. De plus, tout point du chemin central tropical coincide avec le plus grand élément de l'ensemble admissible tropical intersecté avec un ensemble de sous-niveau de la fonction de coût tropicale.

Grâce à cette caractérisation, nous avons réfuté l'analogue continu de la conjecture de Hirsch proposé par Deza, Terlaky et Zinchenko. Ainsi, nous avons construit une famille de programmes linéaires définis par $3r+4$ inequalities in dimension $2r+2$, où le chemin central a une courbure totale en $\Omega \left(2^r\right)$. Cette famille est obtenue en relevant des programmes linéaires tropicaux qui proviennent d'une construction de Bezem, Nieuwenhuis et Rodríguez-Carbonell  [73] . Afin d'estimer la courbure dans ce contre-exemple, nous introduisons une notion d'angle combinatoire, qui est de nature tropicale. Cela nous permet de définir un analogue combinatoire de la courbure totale qui fournit un minorant de la courbure totale classique.

Ces résultats sont rassemblés dans le document  [60] .

English version

In optimization, path-following interior point methods are driven to an optimal solution along a trajectory called the central path. The central path of a linear program $\text{LP}(A,b,c)\equiv min\{c·x\mid Ax\le b,x\ge 0\}$ is defined as the set of the optimal solutions $(x^{\mu },w^{\mu })$ of the barrier problems:

The performance of an interior point method is tightly linked to the shape of its central path. In particular, the curvature measures how far a path differs from a straight line. Intuitively, a central path with high curvature should be harder to approximate with line segments, and thus this suggests more iterations of the interior point methods. The total curvature of the central path has been studied by Dedieu, Malajovich and Shub  [94] via the multihomogeneous Bézout Theorem and by De Loera, Sturmfels and Vinzant  [93] using matroid theory. These two papers provide an upper bound of $O\left(n\right)$ on the total curvature averaged over all regions of an arrangement of hyperplanes in dimension $n$. The redundant Klee-Minty cube of  [100] and the “snake” in  [99] are instances which show that that the total curvature can be in $\Omega \left(m\right)$ for a polytope described by $m$ inequalities. By analogy with the classical Hirsch conjecture, Deza, Terlaky and Zichencko  [99] conjectured that $O\left(m\right)$ is also an upper bound for the total curvature.

In a work of X. Allamigeon, P. Benchimol, S. Gaubert, and M. Joswig, we have studied the tropicalization of the central path. The tropical central path is defined as the logarithmic limit of the central paths of a parametric family of linear programs $\text{LP}\left(A\right(t),b(t),c(t\left)\right)$, where the entries $A_{ij}\left(t\right)$, $b_i\left(t\right)$ and $c_j\left(t\right)$ are definable functions in an o-minimal structure called the Hardy field.

A first contribution is to provide a purely geometric characterization of the tropical central path. We have shown that the tropical analytic center is the greatest element of the tropical feasible set. Moreover, any point of the tropical central path is the greatest element of the tropical feasible set intersected with a sublevel set of the tropical objective function.

Thanks to this characterization, we disprove the continuous analog of the Hirsch conjecture proposed by Deza, Terlaky and Zinchenko, by constructing a family of linear programs with $3r+4$ inequalities in dimension $2r+2$ where the central path has a total curvature in $\Omega \left(2^r\right)$. This family is gotten by lifting tropical linear programs which come from a construction of Bezem, Nieuwenhuis and Rodríguez-Carbonell  [73] . In order to estimate the curvature in this counter example, we introduce a notion of a combinatorial angle, which is tropical in nature. This allows us to define a combinatorial analogue of the total curvature which provides a lower bound for the classical total curvature.

These results are gathered in the preprint  [60] .

Etude des ensembles semi-algébriques tropicaux/Tropicalization of semi-algebraic sets

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Mateusz Skomra.

Suite à son stage de M2, Mateusz Skomra a débuté en octobre 2015 une thèse sous la direction de Xavier Allamigeon et Stéphane Gaubert portant sur la tropicalisation des ensembles semi-algébriques. Cette thèse est financée par une bourse de la région Ile-de-France. La thèse de Mateusz vise en particulier à étudier l'analogue tropical de la programmation sur le cône des matrices positives, dans le but d'obtenir de nouveaux algorithmes ou résultats de complexité pour des sous-classes de problèmes.

English version

Following his M2 internship, Mateusz Skomra has started in October 2015 a PhD thesis under the supervision of Xavier Allamigeon and Stéphane Gaubert, on the tropicalization of semi-algebraic sets. This thesis is funded by a grant from Ile-de-France. One goal is to study the tropical analogue of semidefinite programming, in order to define new algorithms or to establish new complexity results for some subclasses of problems.